Aprende con Inteligencia

2. Si $\alpha = \dfrac{\pi}{13}$, entonces el valor de $\prod_{r=1}^{6} (\cos(r\alpha))$ es:

(a) $1/64$      (b) $-1/64$      (c) $1/32$      (d) $-1/8$

17. Resolver el sistema y dar el valor de "$x$":
(1) $x \log_y x + y \log_x y = \frac{a + (a+b)^2 a^{a+b}}{a+b}$
(2) $xy \log_{xy} a = \frac{a^{a+b+1}}{a+b+1}$

a) $a$      b) $ab$      c) $-a$      d) $1$      e) $0$

Evaluar la integral impropia:
$$\int_{0}^{\infty} \frac{\tanh(x)}{\exp(x)} \, dx$$

Un tío deja a sus sobrinos una herencia a repartirse en forma inversamente proporcional a sus edades y les correspondió 9000; 10000 y 15000 Bs. Si el reparto hubiera sido directamente proporcional a las edades. ¿Cuánto le tocaría al segundo?

a) 12240      b) 12748      c) 12769 \\
d) 12321      e) 12112

Si $f(x) = x + \tan x$ y $f$ es la inversa de $g$, entonces $g'(x)$ es igual a:

a. $\displaystyle \frac{1}{1+[g(x)-x]^2}$      b. $\displaystyle \frac{1}{2-[g(x)-x]^2}$      c. $\displaystyle \frac{1}{2+[g(x)-x]^2}$      d. ninguna de estas

Si $a, b$ y $c$ son números enteros que cumplen la relación $a + b + c = 0$, dar el valor de la fracción:
$$E = \frac{a^9 + b^9 + c^9 - 3a^3b^3c^3}{9abc}$$

a) $(b^2 + bc + c^2)^3$ \\
b) $(a + b + c)^3$ \\
c) $(ab + bc + ac)^3$ \\
d) $(a^2 + b^2 + c^2)^3$ \\
e) $(a^2 - ac + c^2)^2$

Considere la restricción $0 \leq \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n \leq \frac{\pi}{2}$.
Afirmación (A): El valor máximo de $\prod_{i=1}^{n} \cos(\alpha_i)$ bajo la restricción dada es $\frac{1}{2^{n/2}}$.
Razón (R): $\prod_{i=1}^{n} \cot(\alpha_i) = 1$.

26. ¿Cuál es el valor de "a" para que la expresión:
$$10x^2 + (a + 3)xy - (a - 7)y^2 - x + (a - 3)y - 2$$
pueda descomponerse en dos factores?

a) 2      b) 10      c) 4      d) 8      e) 6

Si $a < b < c$, demostrar que:
$$ a^2b + b^2c + c^2a < a^2c + b^2a + c^2b $$

Determine la integral de:
$$\int (\tan^4 x \sec^3 x + \tan^2 x \sec^5 x) dx$$

Considere las condiciones $a=b(a+1)$; $b=c(b+1)$; $c=a(c+1)$ y simplifique:
$$\frac{a^2(b+c)^2 + b^2(a+c)^2 + c^2(a+b)^2}{(ab)^2 + (bc)^2 + (ac)^2}$$

A) a+b+c      B) 1      C) 2      D) 1/2      E) abc

Si la gráfica de $y=f(x)$ es simétrica respecto al eje $y$ y la de $y=g(x)$ es simétrica respecto al origen, y si $h(x) = f(x) \cdot g(x)$, entonces $\frac{d^3h(x)}{dx^3}$ en $x = 0$ es:

a. no puede determinarse      b. $f(0) \cdot g(0)$      c. 0      d. ninguna de estas