Aprende con Inteligencia

Si $A + B + C = \pi$, demuestre que:
$$ \cot(A/2) + \cot(B/2) + \cot(C/2) = \cot(A/2) \cot(B/2) \cot(C/2) $$

Calcular la integral:
$$\int \frac{x^6 - 1}{x^4 + x^3 - x - 1} dx$$

Si el grado absoluto de:
$$M_1 = \frac{\sqrt[b]{x^a} \sqrt[a]{y^b} \sqrt{z} \sqrt[b]{w}}{\sqrt[ab]{x^{a^2} y^{ab}}}$$
es igual a 7, hallar el grado respecto a "$x$" en el monomio:
$$M_2 = \frac{\sqrt[a]{xy^a z^{b^4}}}{\sqrt[b]{\sqrt[b]{xy^{b^2} (z^{a^3})^{-1} (z^{a^3})^{-2}}}}$$

a) 5      b) 4      c) 3      d) 6      e) 7

Calcular el valor de las expresiones:
$$ \begin{array}{l} \text{(a) } 2^{\log_3 5} - 5^{\log_3 2} \\ \text{(b) } 3^{\sqrt{\log_3 2}} - 2^{\sqrt{\log_2 3}} \end{array} $$

Demostrar:
$\cos 24^\circ + \cos 48^\circ - \cos 84^\circ - \cos 12^\circ = \frac{1}{2}$.

Reduzca la expresión $Q$ a su forma más simple y evalúe para $x = 16$ y $y = 1$:

$$Q = \left( \sqrt{xy} - \frac{xy}{x + \sqrt{xy}} \right) \div \frac{\sqrt[4]{xy} - \sqrt{y}}{x - y}$$

Luego de factorizar el polinomio $L_{(x)} = x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 5x - 3$ indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda.

• [I)] $L_{(x)}$ tiene cuatro factores primos.
• [II)] $L_{(x)}$ tiene un factor cuadrático.
• [III)] $L_{(x)}$ solo tiene dos factores primos.

A) VFV      B) FVV      C) VVF      D) FVF      E) FFV

Si $y$ es una función de $x$ y se cumple la ecuación $\log(x + y) - 2xy = 0$, determine el valor de $y'(0)$.

$$ \begin{array}{llll} \text{(a) } 1 & \text{(b) } -1 & \text{(c) } 2 & \text{(d) } 0 \end{array} $$

Paso 1:
Demuestre que $\sin^2 B = \sin^2 A + \sin^2 (A - B) - 2 \sin A \cos B \sin (A - B)$.

Resolver la ecuación:
$$ 2 \sin \left( \frac{2}{3}x - \frac{\pi}{6} \right) - 3 \cos \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) = 5 $$

En una progresión aritmética no constante, el valor del término de índice $k$ es igual a $j$, y el valor del término de índice $j$ es igual a $k$ ($j \neq k$). Determine, en función de $j$ y $k$:

1. El valor del término $a_{j+k}$.
2. La expresión del término general $a_n$.

Si el grado absoluto de la expresión:
$$M = \frac{\sqrt[\alpha \beta \gamma]{(a+b+c)^{\alpha \beta + \beta \gamma + \alpha \gamma}} \sqrt[3]{(xyz)^{p+q+r}}}{(x+y+z)^{p+q} \sqrt[\alpha \gamma]{z^\alpha}}$$
es nulo, hallar el valor de:
$$J = \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta}$$

a) $r$      b) $p + q$      c) $-r$      d) $-1$      e) $-q$