Aprende con Inteligencia

Racionalizar:
$$\frac{2(\sqrt{15} - \sqrt{7})}{1 + \sqrt{3} + \sqrt{5} + \sqrt{7}}$$

Una raíz real de la ecuación $8x^3 - 6x - 1 = 0$ es:

(a) $\cos\left(\frac{\pi}{5}\right)$
(b) $\cos\left(\frac{\pi}{9}\right)$
(c) $\cos\left(\frac{\pi}{18}\right)$
(d) $\cos\left(\frac{\pi}{36}\right)$

Hallar el resto al dividir:
$$P(x) = (x - 1)^6 x^3 (2 - x)^3 \quad \text{entre} \quad (x^2 - 2x - 2)$$

a) +128      b) -128      c) -216      d) 216      e) 0

Calcular la integral definida:
$$\int_0^4 \binom{x}{5} dx$$

El valor de $\cos\left(\frac{\pi}{14}\right) \cos\left(\frac{3\pi}{14}\right) \cos\left(\frac{5\pi}{14}\right)$ es:

(a) $1/4$      (b) $1/8$      (c) $\frac{\sqrt{7}}{4}$      (d) $\frac{\sqrt{7}}{8}$

Resuelva la integral definida:
$$\int_{0}^{2} \frac{x}{(x-3)(x+5)^2} \, dx$$

Indicar la suma de los coeficientes de un factor de:
$$x(x + a)(x + 1)(x^2 + a) + (2x^2 + x + a)(x^2 - 2x + a)(x^2 + x + 2a)$$

a) $2 + a$      b) $1 + a$      c) $2(1 + a)$      d) $2(a)$      e) $(2 - a)$

Calcular la siguiente integral indefinida:
$$ \int \frac{(x - 1)^2}{2e^x + x^2 + 1} \, dx $$

Suponga que $f$ y $g$ son funciones que tienen segundas derivadas $f''$ y $g''$ en todo su dominio. Si $f(x) \cdot g(x) = 1$ para todo $x$ y $f'$ y $g'$ nunca son cero, entonces $\frac{f''(x)}{f'(x)} - \frac{g''(x)}{g'(x)}$ es igual a:
$$ \begin{array}{ll} \text{a. } \frac{-2f'(x)}{f(x)} & \text{b. } -\frac{2g'(x)}{g(x)} \\ \text{c. } \frac{-f'(x)}{f(x)} & \text{d. } \frac{2f'(x)}{f(x)} \end{array} $$

Calcule el valor de la integral:
$$\int_{1/2022}^{2022} \frac{1+x^{2020}}{x^2 + x^{2022}} dx$$

Resuelva la integral:
$$\int_{0}^{2} \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\cdots}}} \, dx$$

Si $S_1, S_2, S_3, \dots, S_p$ son la suma de las series geométricas infinitas cuyos primeros términos son $1, 2, 3, \dots, p$ cuyas razones son: $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots, \frac{1}{p+1}$. Calcular el valor de: $E = S_1 + S_2 + S_3 + \dots + S_p$.

a) $\frac{p}{2}(p + 1)$      b) $\frac{p}{3}(p + 2)$      c) $\frac{p}{2}(p + 3)$      d) $\frac{p}{3}(p + 3)$      e) $p(p + 2)$