Aprende con Inteligencia

Demostrar que para todo valor real de $a$:
$$ a^8 - a^5 + a^2 - a + 1 > 0 $$

Calcule la integral indefinida:
$$\int 1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{\dots \frac{1}{1-\frac{1}{x}}}} \, dx$$
Donde hay un total de 2023 estructuras del tipo $(1 - \cdot)$.

Determine uno de los factores primos del siguiente polinomio definido en $\mathbb{R}[x]$:
$$R(x) = x^4 + 4mnx^2 - (m^2 - n^2)^2$$

Si $\sin^3 x \sin 3x = c_0 + c_1 \cos x + c_2 \cos 2x + c_3 \cos 3x + \dots + c_n \cos nx$, entonces:
(a) El valor más alto de $n$ es 6
(b) $c_0 = 1/8$
(c) $c_2 = -c_4$
(d) $c_1 = c_3 = c_5$

Calcule el valor de la siguiente integral definida:
$$ \int_{0}^{\infty} e^{\frac{-x^5}{2025}} x^{\frac{3}{2}} \, dx $$

Calcule la siguiente integral definida:
$$\int_{-2023}^{2023} \underbrace{||||x|-1|-1|\cdots|-1|}_{2023 \, (-1)\text{'s}} dx$$

Sabiendo que: $x = \sqrt[n]{n^{\frac{1}{\sqrt[n]{n}}}}$
Calcular el valor de: $(x^n)^{x^{\sqrt[n]{n}}} + (x^n)^{x^{\sqrt[n]{n}}} + (x^{x^{\sqrt[n]{n}}})^n$
$$ \begin{array}{llll} \text{A) } 2n & \text{B) } 3n & \text{C) } n & \text{D) } 2 & \text{E) } 8n \end{array} $$

Sea $y(x) = \cos(3\cos^{-1}x)$ para $x \in [-1, 1]$ con $x \neq \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$. Calcule el valor de la expresión:
$$ \frac{1}{y(x)} \left\{ (x^2 - 1) \frac{d^2y(x)}{dx^2} + x \frac{dy(x)}{dx} \right\} $$

Calcule el siguiente límite:
$$\lim_{n \to \infty} n \int_0^{\pi/4} \tan^n(x) dx$$

Paso 1:
Demostrar que: $\text{arcsen } \frac{4}{5} + \text{arcsen } \frac{5}{13} + \text{arcsen } \frac{16}{65} = \frac{\pi}{2}$

Si los números $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$ forman una P.A. Calcular el valor de:
$$E = \frac{1}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2}} + \frac{1}{\sqrt{a_2} + \sqrt{a_3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{a_{n-1}} + \sqrt{a_n}} + \dots$$
(Expresión simplificada por comparación de estructura):
$$E = \frac{\sum_{i=1}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{a_i} + \sqrt{a_{i+1}}}}{\frac{n-1}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_n}}}$$

a) $\sqrt{a_1}$      b) $\sqrt{a_n}$      c) $n$      d) 1      e) 0

Calcular la derivada: $\dfrac{d}{dx} \left[ \tan^{-1} \left( \dfrac{\sqrt{x}(3-x)}{1-3x} \right) \right] =$

1. [a.] $\dfrac{1}{2(1+x)\sqrt{x}}$
2. [b.] $\dfrac{3}{(1+x)\sqrt{x}}$
3. [c.] $\dfrac{2}{(1+x)\sqrt{x}}$
4. [d.] $\dfrac{3}{2(1+x)\sqrt{x}}$