Aprende con Inteligencia

Hallar la integral:
$$ \int \frac{\csc^2 x - 2005}{\cos^{2005} x} dx $$

(a) $\frac{\cot x}{\cos^{2005} x} + c$      (b) $\frac{\tan x}{\cos^{2005} x} + c$ \\
(c) $\frac{-\tan x}{\cos^{2005} x} + c$      (d) $\frac{-\cot x}{\cos^{2005} x} + c$

Verificar la identidad:
$$ \arctan \frac{\sqrt{2}}{2} + \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = \arctan (3 + 2\sqrt{2}) $$

Assertion (A): Si $A$ es un ángulo obtuso en un $\triangle ABC$, entonces $\tan B \cdot \tan C > 1$.

Reason (R): En un $\triangle ABC$, $\tan A = \frac{\tan B + \tan C}{\tan B \tan C - 1}$.

(a) A (b) B (c) C (d) D

Paso 1:
Si $\cos(\alpha + \beta) = \frac{4}{5}$, $\sin(\alpha - \beta) = \frac{5}{13}$ y $\alpha, \beta$ se encuentran entre $0$ y $\frac{\pi}{4}$, calcule $\tan 2\alpha$.

Reducir:
$$A = \left( \frac{\sin^4 x + \cos^2 x}{\cos^4 x + \sin^2 x} \right) \left( \frac{\csc^2 x + \cot^4 x}{\csc^4 x - \cot^2 x} \right) + \cot^2 x$$

Si $P_{(x)}=3(x-2)(x^2+mx+1)(x^n-2)$ está factorizado sobre $\mathbb{Z}$, calcule el menor valor positivo de $(m+n)$.

A) 1      B) 2      C) 3      D) 4      E) 5

El valor de $4 \cos 20^\circ - \sqrt{3} \cot 20^\circ$ es:

(a) 1      (b) $-1$      (c) $-1/2$      (d) $1/4$

Demostrar la siguiente identidad trigonométrica:
$$ \tan 20^\circ + \tan 40^\circ + \tan 80^\circ - \tan 60^\circ = 8 \sin 40^\circ $$

Si $\cos(x - y)$, $\cos x$, $\cos(x + y)$ están en Progresión Armónica (H.P) tal que:
$$ \left| \sec x \cdot \cos\left(\frac{y}{2}\right) \right| = m $$
entonces, halle el valor de $(m^2 + 2)$.

Sea $f(x) = \begin{vmatrix} x^3 & \sin x & \cos x \\ 6 & -1 & 0 \\ p & p^2 & p^3 \end{vmatrix}$, donde $p$ es una constante.
Entonces el valor de $\frac{d^3}{dx^3} (f(x))$ en $x = 0$ es:

$$ \begin{array}{llll} \text{a. } p & \text{b. } p - p^3 & \text{c. } p + p^3 & \text{d. } \text{independiente de } p \end{array} $$

Calcular el valor de la siguiente integral definida:
$$ \int_{-\pi}^{\pi} \sin^{2025}(x) \cos^{2026}(x) \, dx $$

Demostrar la siguiente identidad trigonométrica:
$$ \tan 20^\circ + \tan 40^\circ + \tan 80^\circ - \tan 60^\circ = 8 \sin 40^\circ $$