Aprende con Inteligencia

Paso 1:
Si $\sin \beta = \frac{x - y}{x + y}$, demuestre que $\tan \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\beta}{2} \right) = \pm \sqrt{\frac{x}{y}}$.

Si $\tan \beta = 2 \sin \alpha \cdot \sin \gamma \cdot \csc(\alpha + \gamma)$, entonces $\cot \alpha, \cot \beta, \cot \gamma$ están en:

(a) A.P (Progresión Aritmética)      (b) G.P (Progresión Geométrica) \\
(c) H.P (Progresión Armónica)      (d) A.G.P (Progresión Aritmético-Geométrica)

Calcular la integral:
$$\int \cos(x)^6 dx$$

Calcular $m$ de manera que la división:
$$\frac{x^4(y+z)^2 + y^4(x+z)^2 + z^4(x+y)^2 + 2(xy + xz + yz)^3 - m x^2 y^2 z^2}{x^2(y+z) + y^2(x+z) + z^2(x+y) + 2xyz}$$
se exacta:

a) 1      b) 2      c) 3      d) 4      e) 5

Sea $f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(\sin(x+h))^{\ln(x+h)} - (\sin x)^{\ln x}}{h}$. Entonces $f\left( \frac{\pi}{2} \right)$ es:

a. igual a 0 \\
b. igual a 1 \\
c. $\ln \frac{\pi}{2}$ \\
d. no-existente

Simplificar la siguiente función:
$$ \tan (\arcsin x + \arcsin y) $$

Paso 1:
En una P.G. de 6 términos, en la cual el primer término es igual a la razón, y la suma del primero y el tercero es 30, determine la suma de sus términos.

Calcule la integral definida:
$$\int_{0}^{1} \sin^2(\ln x) dx$$

Calcule la integral definida:
$$\int_{\pi/4}^{\pi/3} \frac{dx}{\sin^3 x \cos^5 x}$$

Si el grado absoluto de:
$$M_1 = \frac{\sqrt[b]{x^a} \sqrt[a]{y^b} \sqrt{z} \sqrt[b]{w}}{\sqrt[ab]{x^{a^2} y^{ab}}}$$
es igual a 7, hallar el grado respecto a "$x$" en el monomio:
$$M_2 = \frac{\sqrt[a]{xy^a z^{b^4}}}{\sqrt[b]{\sqrt[b]{xy^{b^2} (z^{a^3})^{-1} (z^{a^3})^{-2}}}}$$

a) 5      b) 4      c) 3      d) 6      e) 7

Calcule la integral indefinida:
$$\int 1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{\dots \frac{1}{1-\frac{1}{x}}}} \, dx$$
Donde hay un total de 2023 estructuras del tipo $(1 - \cdot)$.

Resolver el sistema:
$$ \begin{cases} \sin x + \cos y = 0 \\ \sin^2 x + \cos^2 y = \frac{1}{2} \end{cases} $$