Aprende con Inteligencia

Paso 1:
Si $k = \sin\left(\frac{\pi}{18}\right) \sin\left(\frac{5\pi}{18}\right) \sin\left(\frac{7\pi}{18}\right)$, entonces el valor numérico de $k$ es:

Hallar la solución de la ecuación trigonométrica entre $[0^\circ, 360^\circ]$:
$$ \cos(x+30^\circ) - 1 = \cos(2x) - \sin(x+60^\circ) $$

Paso 1:
Si $\sin A + \sin B = a$ y $\cos A + \cos B = b$, hallar $\cos(A+B)$.

Resolver la ecuación:
$$ 4x^4 + x^6 = -\sin^2 5x $$

Hallar los valores de $x$ e $y$ en:
$$ \sin^2 (\pi x) + \log_{2}^2 (y^2 - 2y + 1) = 0 $$

Calcular la integral indefinida:
$$\int \frac{(2 + x) e^{-x}}{x^3} \, dx$$

17. Resolver el sistema y dar el valor de "$x$":
(1) $x \log_y x + y \log_x y = \frac{a + (a+b)^2 a^{a+b}}{a+b}$
(2) $xy \log_{xy} a = \frac{a^{a+b+1}}{a+b+1}$

a) $a$      b) $ab$      c) $-a$      d) $1$      e) $0$

Una raíz real de la ecuación $8x^3 - 6x - 1 = 0$ es:

(a) $\cos\left(\frac{\pi}{5}\right)$
(b) $\cos\left(\frac{\pi}{9}\right)$
(c) $\cos\left(\frac{\pi}{18}\right)$
(d) $\cos\left(\frac{\pi}{36}\right)$

Determinar el valor de la expresión:
$$ -x^{-x^{-x+x^x}} \left[ \frac{x^{-x^x} + x^{x^{-x}}}{x^{-x^{-x}} + x^{x^x}} \right] $$
cuando: $x = 2^{-100}$.

$$ \begin{array}{lllll} \text{A) } 0 & \text{B) } 1 & \text{C) } -1 & \text{D) } \frac{1}{64} & \text{E) } 2^{-200} \end{array} $$

Calcular el valor de $E = (mn)^2 + 5$ sabiendo que $P[P(x)]$ es independiente de "$x$" siendo:
$$P(x) = \frac{mx + 1}{x - n}$$

a) 5      b) 4      c) 9      d) 6      e) 14

Paso 1:
La suma de todos los términos de una progresión geométrica decreciente es igual a $\frac{16}{3}$. La progresión contiene un término igual a $\frac{1}{6}$. La razón de la suma de todos los términos que preceden a este término a la suma de aquellos que le siguen es igual a 30. Determine el número de la posición del término igual a $\frac{1}{6}$.

Demuestre que:
$$ (\cos \alpha + \sin \beta)^2 + (\sin \alpha - \cos \beta)^2 = 4 \cos^2 \left( 45^\circ + \frac{\alpha - \beta}{2} \right) $$