Aprende con Inteligencia

Demostrar la identidad:
$$ \arccos x = \begin{cases} \arcsin \sqrt{1-x^2} & \text{si } 0 \le x \le 1, \\ \pi - \arcsin \sqrt{1-x^2} & \text{si } -1 \le x \le 0. \end{cases} $$

Hallar el radio de curvatura $\rho$ de:
(a) $x^3 + xy^2 - 6y^2 = 0$ en $(3, 3)$.
(b) $x = a \operatorname{sech}^{-1}(y/a) - \sqrt{a^2 - y^2}$ en $(x, y)$.
(c) $x = 2a \tan \theta$, $y = a \tan^2 \theta$.
(d) $x = a \cos^4 \theta$, $y = a \sin^4 \theta$.

Paso 1:
Sea $z = (\cos x)^5$ y $y = \sin x$. Entonces el valor de $2 \frac{d^2z}{dy^2}$ en $x = \frac{2\pi}{9}$ es:

Paso 1:
Calcular el límite: $L = \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt[3]{8x + \sqrt[3]{8x^2 + \sqrt[3]{8x + \sqrt[3]{8x}}}} - 2\sqrt[3]{x} \right)$

Calcular la siguiente integral impropia definida en el intervalo $(-\infty, \infty)$:
$$ \int_{-\infty}^{\infty} \operatorname{sech} \left( 2x + 1 - \frac{1}{x - 1} - \frac{2}{x + 1} \right) dx $$

Si $\cos A + \cos B = \frac{1}{2}$ y $\sin A + \sin B = \frac{1}{4}$, demuestre que:
$$ \tan \left( \frac{A+B}{2} \right) = \frac{1}{2} $$

Calcular la integral definida:
$$\int_{1}^{2022} \frac{\{x\}}{x} dx$$

Evaluar:
$$ \int \sin^2 x \cdot \cos^4 x \, dx $$

Graficar realizando un análisis completo, indicando su rango y si la función es monótona:
$$y = \left| \left| \sin\left(\frac{\pi [x]}{2}\right) + \sin\left(\frac{\pi x}{2}\right) \right| - 1 \right| + 3$$
En el intervalo $0 \le x < 4$.

Resolver el sistema:
$$ \begin{cases} \sin x \cos 2y = a^2 + 1 \\ \cos x \sin 2y = a \end{cases} $$

2. Resolver y dar el valor de "$y$":
$$ \begin{cases} \sqrt{x+a} - \sqrt{y-a} = \frac{5}{2}\sqrt{a} & (1) \\ \sqrt{x+a} - \sqrt{y+a} = \frac{3}{2}\sqrt{a} & (2) \end{cases} $$

a) $\frac{8a}{17}$      b) $\frac{17a}{8}$      c) $\frac{8a}{15}$      d) $\frac{15a}{8}$      e) $\frac{6}{7}a$

Demostrar y calcular la siguiente integral:
$$ \int_{0}^{\pi} \left( \frac{\sin(2x) \sin(3x) \sin(5x) \sin(30x)}{\sin(x) \sin(6x) \sin(10x) \sin(15x)} \right)^2 dx $$