Aprende con Inteligencia

Paso 1:
Desde el punto $P(8,1)$ se trazan las rectas tangente y normal a la astroide $x^{2/3} + y^{2/3} = 5$. Halle el rectángulo de área máxima, cuyo uno de sus lados está contenido en el eje Y, y sus otros dos vértices pertenecen a las rectas tangente y normal.

Resolver el sistema:
$$ \begin{cases} \cos x + \text{sen } y = 2 \text{ sen } x \\ \text{sen } x + \cos y = 2 \cos x \end{cases} $$

Paso 1:
Si $\sin^2 \theta + \sin \theta = 1$, halle el valor de $\cos^{12} \theta + 3 \cos^{10} \theta + 3 \cos^8 \theta + \cos^6 \theta$.

Paso 1:
Si $m = \sin 10^\circ \sin 50^\circ \sin 70^\circ$ y $n = \cos 20^\circ \cos 60^\circ \cos 80^\circ$, encuentre el valor de $\left( \frac{m}{n} + 2012 \right)$.

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{(x + 1)}{(x + 2)(x + 3)^{3/2}} dx $$

Hallar la solución de la integral:
$$ \int e^{\cos x} \cos(2x + \sin x) dx $$

Problema 211. Se tienen dos progresiones aritméticas crecientes, cada una de tres términos. La suma de los tres términos de cada una de ellas es 15. La razón de la primera es el doble de la segunda progresión, y el producto de los tres términos de la primera es al producto de los tres términos de la segunda como 3 es a 7.
Resp. 1ra PA: 1, 5, 9; 2da PA: 3, 5, 7

Calcular:
$$ \int e^{(x \sin x + \cos x)} \left( \frac{x^4 \cos^3 x - x \sin x + \cos x}{x^2 \cos^2 x} \right) dx $$

(a) $e^{(x \sin x + \cos x)} \left( x - \frac{1}{x \cos x} \right) + c$
(b) $e^{(x \sin x + \cos x)} \left( \frac{1}{x \cos x} \right) + c$
(c) $e^{(x \sin x + \cos x)} \left( \frac{1}{x \cos x} - x \right) + c$
(d) $e^{(x \sin x + \cos x)} \left( \frac{1}{x \cos x} + x \right) + c$

Paso 1:
Si la relación $f(xy) = \frac{f(x)}{y} + \frac{f(y)}{x}$ se cumple para todo $x, y$ reales mayores a 0, y $f(x)$ es una función derivable para todo $x > 0$ tal que $f(e) = \frac{1}{e}$, halle $f(x)$.

Evaluar la parte entera de la expresión:
$$ \left\lfloor 10^{20} \int_{2}^{\infty} \frac{x^9}{x^{20} - 48x^{10} + 575} dx \right\rfloor $$

Resolver el sistema de ecuaciones, hallando las soluciones en la primera vuelta ($0 \le x, y < 360^\circ$):
$$ \begin{cases} 2 \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) \cos^2\left(\frac{y}{2}\right) - 2 \operatorname{sen}^2\left(\frac{x}{2}\right) \operatorname{sen}^2\left(\frac{y}{2}\right) = 1 \\ 4 \cos x \cos y = 1 \end{cases} $$

Calcule el valor de:
$$\int_{0}^{100} \lfloor x \rfloor x \lceil x \rceil dx$$