Aprende con Inteligencia

Calcular la integral indefinida simplificando la fracción continua de 2023 niveles:
$$ \int \underbrace{1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{\ddots \frac{1}{1 - \frac{1}{x}}}}}_{2023 \text{ términos } (1-)} dx $$

Dadas las funciones $f$ y $g$ definidas por:
$$f(x) = \begin{cases} \sqrt{|1-x|-2} & ; \quad x > 3 \\ \llbracket x^2 - 1 \rrbracket & ; \quad 0 < x \le 3 \end{cases} \quad \text{y} \quad g(x) = \frac{x+1}{x-4}$$
Determine $(g \circ f)_{(x)}$ e indique su dominio.

4. (20\%) Calcular los siguientes límites:
a) $L = \lim_{x \to a} \left[ \frac{\sin(x-a)}{2} \cdot \tan\left( \frac{\pi x}{2a} \right) \right]$
b) $L = \lim_{x \to 0} \left[ \frac{e^{\sin x} - x \cdot 2^{\tan x} + 1 - 2\cos 3x}{2\cos 3x \tan x} \right]$

5. Hallar el valor de $A$ para que la función sea continua en $x=0$:
$$f(x) = \begin{cases} \frac{\cos x \cdot \cos 3x \cdot \cos 5x - 1}{1 - \cos 2x} & ; x \neq 0 \\ A & ; x = 0 \end{cases}$$

Se debe colocar una luz directamente sobre el centro de un terreno circular de radio $30\text{ ft}$, a una altura tal que el borde del terreno reciba la máxima iluminación. Encuentre la altura si la intensidad $I$ en cualquier punto del borde es directamente proporcional al coseno del ángulo de incidencia $\theta$ e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia $y$ desde la fuente.
$$ I = k \frac{\cos \theta}{y^2} $$
Sugerencia: Sea $x$ la altura requerida. La intensidad se puede expresar como $I = \frac{kx}{(x^2 + 900)^{3/2}}$.

Demuestre que:
$$ \sin^2 \alpha + \sin^2 (\alpha + \beta) + \sin^2 (\alpha + 2\beta) + \dots + \sin^2 (\alpha + (n-1)\beta) = \frac{n}{2} - \frac{1}{2} \times \frac{\sin n\beta}{\sin \beta} \times \cos[2\alpha + (n-1)\beta] $$

Efectuando un análisis completo: máximos, mínimos, curva creciente/decreciente, curva cóncava/convexa, inflexiones, etc., construir la gráfica de:
$$y = x^{1/3}(x + 3)^{2/3}$$

Resolver la ecuación:
$$ (1 + \cos x) \sqrt{\tan \frac{x}{2}} - 2 + \sin x = 2 \cos x $$

Evaluar:
$$ \int \frac{\sin 2x}{a \sin^2 x + b \cos^2 x} dx $$

Si $a > 0, b > 0, c > 0$, demostrar que:
$$\frac{bc}{a} + \frac{ac}{b} + \frac{ab}{c} \geq a + b + c$$

Paso 1:
Si $\frac{\sin x}{\sin y} = \frac{1}{2}$ y $\frac{\cos x}{\cos y} = \frac{3}{2}$, donde $x, y \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$, halle el valor de $\frac{\tan^2 (x + y)}{5}$.

Paso 1:
Tengo cuatro hijos. La edad en años de cada hijo es un entero positivo entre 2 y 16 inclusive y las cuatro edades son distintas. Hace un año, el cuadrado de la edad del hijo mayor era igual a la suma de los cuadrados de las edades de los otros tres. Dentro de un año, la suma de los cuadrados de las edades del mayor y el menor será igual a la suma de los cuadrados de los otros dos hijos. Decide si esta información es suficiente para determinar sus edades de forma única y encuentra todas las posibilidades para sus edades.