Aprende con Inteligencia

Paso 1:
La función $f(x) = \frac{x-1}{ax^2 + bx + c}$ tiene un punto de inflexión en $(-2, -1)$ y un extremo relativo en $x = 1 + \sqrt{3}$. Halle $a, b, c$.

Paso 1:
Dos cuadrillas de trabajadores cavaron juntas una zanja en dos días. Luego empezaron a cavar otra zanja de la misma profundidad y anchura, pero cinco veces más larga que la primera. La primera cuadrilla empezó a cavar la zanja sola y luego fue relevada por la segunda. La primera cuadrilla cavó 1.5 veces más que la segunda. La segunda zanja se cavó en 21 días. ¿Cuántos días le hubiera tomado a la segunda cuadrilla cavar la primera zanja si la primera cuadrilla puede cavar más rápido que la segunda?

Resolver el sistema:
$$ \begin{cases} x - y = a \\ 2(\cos 2x + \cos 2y) = 1 + 4\cos^2(x-y) \end{cases} $$

Calcule el valor numérico para cada expresión y relacione con la Columna II:

\begin{array}{l}
(A) \cos^4\left(\frac{\pi}{8}\right) + \cos^4\left(\frac{3\pi}{8}\right) + \cos^4\left(\frac{5\pi}{8}\right) + \cos^4\left(\frac{7\pi}{8}\right) \\
(B) \sin(12^\circ) \sin(48^\circ) \sin(54^\circ) \\
(C) \sin(6^\circ) \sin(42^\circ) \sin(66^\circ) \sin(78^\circ) \\
(D) \tan(6^\circ) \tan(42^\circ) \tan(66^\circ) \tan(78^\circ)
\end{array}

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{dx}{x^{2/3} (2 + 3x)^{4/3}} $$

Calcular la integral definida parametrizada por $n$ y $s$:
$$ I = \int_{0}^{s} \frac{\log^{n-1}(1+t)}{t} dt $$
Donde $n \in \mathbb{Z}^+$ y $s > 0$. Exprese el resultado en términos de la función Zeta de Riemann $\zeta(n)$ y el Polilogaritmo $Li_s(z)$.

Si $\cos(\alpha - \beta) + \cos(\beta - \gamma) + \cos(\gamma - \alpha) = -\frac{3}{2}$, demuestre que:
$\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 0$ y $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 0$.

Halle el conjunto solución para la siguiente ecuación logarítmica, considerando las restricciones del dominio:
$$\log_x (3x^3) \cdot \log_3^2 x = 4$$

Sea $f(x) = \frac{\sqrt{x - 2\sqrt{x-1}}}{\sqrt{x-1} - 1} \cdot x$. Entonces:
$$ \begin{array}{ll} \text{a. } f'(10) = 1 & \text{b. } f'(3/2) = -1 \\ \text{c. } \text{El dominio de } f(x) \text{ es } x \geq 1 & \text{d. } \text{El rango de } f(x) \text{ es } (-2, -1] \cup (2, \infty) \end{array} $$

Determine el valor de:
$$\int_0^{\frac{1}{2}} \sum_{n=0}^{\infty} \binom{n+3}{n} x^n dx$$

Racionalice el denominador de la siguiente fracción:
$$ \frac{1}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}} $$

Hallar la derivada de la función implícita:
$$ x \cos y = \sin(x + y) $$