Aprende con Inteligencia

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
$$ \begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 7 \quad \text{--- (1)} \\ y^2 + yz + z^2 = 3 \quad \text{--- (2)} \\ z^2 + zx + x^2 = 1 \quad \text{--- (3)} \end{cases} $$

Evaluar:
$$ \int \frac{dx}{(2 + 3x^2)^{3/2}} $$

Calcular la integral indefinida:
$$ \int \left( \cos(3x)\cos(5x)\cos(6x)\cos(7x) - \cos(x)\cos(2x)\cos(4x)\cos(8x) \right) dx $$

Calcule el valor de la integral definida:
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}+1} \sin(x - \sin(x - \sin(x - \dots))) dx$$

Paso 1:
Dos puntos, $A$ y $B$, están conectados por una vía recta de $24\text{ km}$. Un ciclista parte de $A$ hacia $B$ con rapidez constante. Una motocicleta sale de $A$ exactamente $20\text{ minutos}$ después en la misma dirección. La motocicleta alcanza al ciclista tras $10\text{ minutos}$ de haber partido y continúa su trayecto hasta $B$. Al llegar a $B$, la motocicleta da la vuelta inmediatamente y, tras $40\text{ minutos}$ desde su salida original de $A$, se encuentra por segunda vez con el ciclista. Calcule la rapidez de ambos.

Evalúe:
$$\int_{0}^{\pi/2} \frac{dx}{\sin(x) + \sec(x)} \, dx$$

Calcular el valor de la integral impropia:
$$ \int_{0}^{\infty} \frac{\tanh(x)}{x \cosh(2x)} \, dx $$

Calcular el valor de la integral definida:
$$ \int_{0}^{\pi/2} \sec^2(x) e^{-\sec^2(x)} \, dx $$

Paso 1:
Hallar el radio $R$ del cono circular recto de máximo volumen que puede ser inscrito en una esfera de radio $r$.

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{(\cos x + 2)}{(1 + 2\cos x)^2} dx $$

Demuestre la identidad:
$$ \tan^2 \left( 45^\circ + \frac{\alpha}{2} \right) = \frac{1 + \sin \alpha}{1 - \sin \alpha} $$

Paso 1:
Si $f''(x) = a \cos x + b \sin x$ y $f'(0) = 4, f(0) = 3, f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 5$, hallar $f(x)$.