Aprende con Inteligencia

Calcule la integral definida:
$$\int_{0}^{\pi/4} \sqrt{\tan x} dx$$

(8) Sea $k$ un número entero positivo, y sean $p(x), q(x)$ polinomios en $x$ de grado $k$. También sea:
$$ \begin{aligned} p(x) &= ax^k + (\text{un polinomio de grado } < k), \\ q(x) &= bx^k + (\text{un polinomio de grado } < k), \end{aligned} $$
donde $a$ y $b$ son números distintos de cero. Entonces: (a) Demuestre que:
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{p(n)}{q(n)} = \frac{a}{b} $$
mostrando que dado $\epsilon > 0$, existe un $n_0$ tal que para todo $n > n_0$:
$$ \left| \frac{a}{b} - \frac{p(n)}{q(n)} \right| < \epsilon. $$
(b) Demuestre la ecuación anterior invocando el Teorema 2.10 (Leyes de los límites).

Resolver la ecuación:
$$ 2 \cos 3x + \sqrt{3} \sin x + \cos x = 0 $$

Resuelve la ecuación:
$$\frac{x^2}{3} + \frac{48}{x^2} = 5 \left( \frac{x}{3} + \frac{4}{x} \right)$$

Calcule el valor de la integral definida:
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}+1} \sin(x - \sin(x - \sin(x - \dots))) dx$$

Demostrar y calcular el valor de la integral:
$$ \int_{0}^{2\pi} \cos(2022x) \frac{\sin(10050x)}{\sin(50x)} \frac{\sin(10251x)}{\sin(51x)} dx $$

Si $\frac{\sin A}{\sin B} = p$ y $\frac{\cos A}{\cos B} = q$, demostrar que:
$$ \tan A \cdot \tan B = \frac{p}{q} \left( \frac{q^2 - 1}{1 - p^2} \right) $$

Paso 1:
Tres números cuya suma es $93$ forman una progresión geométrica. Estos mismos números pueden entenderse también como el primer, segundo y séptimo término de una progresión aritmética. Halle estos tres números.

Paso 1:
Tenemos dos tanques, uno lleno con glicerina pura y el otro con agua. Usando dos cucharones de tres litros, uno para sacar glicerina del primer tanque y el otro para sacar agua del segundo tanque, se transfirió glicerina del primer tanque al segundo, y una cucharada del contenido del segundo se transfirió al primer tanque. Las mezclas se agitaron en ambos tanques y la operación se repitió. Como resultado, la mitad del volumen del primer tanque era glicerina pura. Encuentre las capacidades de los tanques si su capacidad total es 10 veces la capacidad del primer tanque.

Se tienen dos progresiones una aritmética y otra geométrica. Sabiendo que la suma de los dos primeros términos de la P.G. es el doble del segundo termino de la P.A.; que la suma del primer y tercer términos de la P.G. es el triple del tercer termino de la P.A.; y que la razón aritmética excede en uno a la razón geométrica; y que el primer termino de la P.G. también excede en uno al primer termino de la P.A. Halle las dos progresiones, sabiendo que las razones son números enteros.
Resp. P.A.: 2, 6, 10; P.G.: 3, 9, 27

Si $2 \tan \alpha = 3 \tan \beta$, demostrar que:
$$ \tan (\alpha - \beta) = \frac{\sin 2\beta}{5 - \cos 2\beta} $$

Paso 1:
iv) (5\%) Hallar el conjunto solución de: $\left| \frac{3|x|-x}{x+1} \right| < \frac{1}{x+1}$