Aprende con Inteligencia

Demuestre que:
$$ \arctan\left(\frac{x}{1+2x^2}\right) + \arctan\left(\frac{x}{1+6x^2}\right) + \arctan\left(\frac{x}{1+12x^2}\right) + \dots + \arctan\left(\frac{x}{1+n(n+1)x^2}\right) = \arctan((n+1)x) - \arctan(x) $$

Si $xy + yz + zx = 1$, demostrar que:
$$ \frac{x}{1-x^2} + \frac{y}{1-y^2} + \frac{z}{1-z^2} = \frac{4xyz}{(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)} $$

Demostrar que:
$$ \frac{1}{2} \arccos(2x^2 - 1) = \arccos x \quad \text{si } x \ge 0. $$

Evaluar la integral indefinida:
$$ \int \sec^5 x \, dx $$

Evaluar:
$$ \int \frac{dx}{(x^{2}-1)\sqrt{x^{2}+4x+5}} $$

Evaluar:
$$ \int \frac{dx}{(3 + 4\sin x)^2} $$

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas:
$$ \begin{cases} x + y = \dfrac{\pi}{6} \\ 5 (\sin 2x + \sin 2y) = 2 (1 + \cos^2 (x - y)) \end{cases} $$

Sea $\{a_n\}$ una progresión aritmética de términos reales y sea $S_k$ la suma de sus primeros $k$ términos. Si para dos índices distintos $p$ y $q$ ($p, q \in \mathbb{Z}^+$) se cumple la relación de proporcionalidad:
$$\frac{S_p}{S_q} = \frac{p^2}{q^2}$$
Demuestre que la razón entre el término en la posición $m$ y el término en la posición $n$ viene dada por la expresión:
$$\frac{a_m}{a_n} = \frac{2m - 1}{2n - 1}$$

Evaluar la integral definida:
$$ \int_{0}^{\pi} \frac{2 \cos(x) - \cos(2021x) - 2 \cos(2022x) - \cos(2023x) + 2}{1 - \cos(2x)} dx $$

Paso 1:
Dos barcos zarpan de un punto $A$ al mismo tiempo. Uno navega hacia el sur a $15\text{ mi/h}$; el otro navega hacia el este a $25\text{ mi/h}$ durante $1\text{ h}$ y luego gira hacia el norte. Encuentre la razón de rotación de la línea que los une después de $3\text{ h}$.

Demuestre la siguiente identidad utilizando el método de inducción matemática:
$$\left(1 - \frac{1}{4}\right) \left(1 - \frac{1}{9}\right) \left(1 - \frac{1}{16}\right) \dots \left(1 - \frac{1}{(n+1)^2}\right) = \frac{n+2}{2n+2}$$

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{x + 9}{x^3 + 9x} dx $$