Aprende con Inteligencia

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
$$ \begin{cases} x - y + z = 6 \\ x^2 + y^2 + z^2 = 14 \\ x^3 - y^3 + z^3 = 36 \end{cases} $$

Para la hipérbola $b^2x^2 - a^2y^2 = a^2b^2$, demostrar que:
(a) la ecuación de la tangente en un punto $P(x_0, y_0)$ es $b^2x_0x - a^2y_0y = a^2b^2$.
(b) las ecuaciones de sus tangentes de pendiente $m$ son $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$.

Demostrar que:
$$ \cos^{2} x + \cos^{2} 3x + \cos^{2} 5x + \dots \text{ hasta } n \text{ términos} = \frac{1}{2} \left[ n + \frac{\sin 4nx}{2 \sin 2x} \right] $$

Probar que:
$$ \sin^2 48^\circ - \cos^2 12^\circ = -\frac{\sqrt{5} + 1}{8} $$

Evaluar la siguiente integral indefinida:
$$ \int \frac{dx}{(x - 2)^2 \sqrt{x^2 - 4x + 7}} $$

Paso 1:
Calcular el límite: $L = \lim_{x \to 0} \frac{\cot(a+2x) - 2\cot(a+x) + \cot(a)}{x^2}$

Demostrar que:
$$ \arcsin \frac{4}{5} + \arcsin \frac{5}{13} + \arcsin \frac{16}{65} = \frac{\pi}{2} $$

Resolver la ecuación:
$$ 4 \sin 2x - \tan^2 \left( x - \frac{\pi}{4} \right) = 4 $$

Evaluar:
$$ \int \frac{dx}{(x + 1)^3 \sqrt{x^2 + 2x - 4}} $$

Paso 1:
Hallar tres números naturales en progresión aritmética de razón 2, tales que la suma de sus cuadrados sea un número de cuatro cifras iguales.

Calcular la siguiente integral indefinida:
$$ \int \left( \frac{x^6 + x^4 - x^2 - 1}{x^4} \right) e^{x + 1/x} \, dx $$

En un triángulo $ABC$, donde $A+B+C = \pi$, relacione las columnas:

\begin{array}{|l|l|}
\hline
Columna I & Columna II \\
\hline
(A) \sin 2A + \sin 2B + \sin 2C & (P) 4 \sin A \sin B \sin C \\
\hline
(B) \cos 2A + \cos 2B + \cos 2C & (Q) -1 - 4 \cos A \cos B \cos C \\
\hline
(C) \sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C & (R) 2 + 2 \cos A \cos B \cos C \\
\hline
(D) \cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C & (S) 1 - 2 \cos A \cos B \cos C \\
\hline
\end{array}