Aprende con Inteligencia

Paso 1:
Hallar las dimensiones del cono de volumen mínimo que se puede circunscribir a una semi-esfera de radio $R$ (ejes de cono y semi-esfera son coincidentes).

Evaluar:
$$ \int \frac{dx}{(3x + 2)\sqrt{x^2 - 4}} $$

Determine el valor de:
$$\int_{0}^{\infty} \lceil \frac{1}{\lceil x \rceil - x} \rceil^{-\lceil x \rceil} dx$$
Donde $\lceil \cdot \rceil$ representa la función techo (ceiling).

Evaluar la integral que involucra la cardinalidad del conjunto de las partes enteras de las funciones trigonométricas básicas:
$$ \int_{0}^{2\pi} \left| \{ \lfloor \sin x \rfloor, \lfloor \cos x \rfloor, \lfloor \tan x \rfloor, \lfloor \cot x \rfloor \} \right| \, dx $$
Donde $|\{ \dots \}|$ denota el número de elementos distintos en el conjunto.

Calcular la integral indefinida:
$$\int \frac{x - 1}{x + x^2 \log x} dx$$

Resolver la ecuación:
$$ \left( \cos^2 x + \frac{1}{\cos^2 x} \right) (1 + \tan^2 2y) (3 + \sin 3z) = 4 $$

La ecuación cuyas raíces son $\tan^2\left(\frac{\pi}{7}\right)$, $\tan^2\left(\frac{3\pi}{7}\right)$, $\tan^2\left(\frac{5\pi}{7}\right)$ es:

(a) $x^3 - 21x^2 + 35x - 7 = 0$ \\
(b) $x^3 - 35x^2 + 21x - 7 = 0$ \\
(c) $x^3 - 35x^2 + 35x - 7 = 0$ \\
(d) $x^3 - 21x^2 + 7x - 35 = 0$

Probar:
(a) La suma de los interceptos con los ejes coordenados de cualquier tangente a la curva $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a}$ es una constante.
(b) La suma de los cuadrados de los interceptos con los ejes coordenados de cualquier tangente a la curva $x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$ es una constante.

Demostrar la siguiente identidad:
$$ \sqrt{\cos^2 \alpha \cos^2 \beta - \frac{1}{2} \sin 2\alpha \sin 2\beta + \sin^2 \alpha \sin^2 \beta} = |\cos (\alpha + \beta)| $$

Paso 1:
Evaluar: $\int \frac{\sin 2x}{\sin 5x \cdot \sin 3x} dx$

Evaluar la integral impropia:
$$ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-x^2}}{1 + e^{2x}} \, dx $$

Resolver el sistema:
$$ \begin{cases} \sin x - \sin y = \dfrac{1}{2} \\ \cos x + \cos y = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{cases} $$