Aprende con Inteligencia

Sea $(s_n)$ una sucesión contenida en el intervalo abierto $(-\pi/2, \pi/2)$ tal que $s_n \to \pi/2$.
(a) Demuestre que $\tan s_n \to +\infty$ demostrando directamente que dado $M > 0$, existe un $n_0$ tal que para todo $n > n_0$, $\tan s_n > M$.
(b) Demuestre análogamente que si $s_n \to -\pi/2$, entonces $\tan s_n \to -\infty$.

Calcule el límite:
$$L = \lim_{x \to 0} \left[ \frac{\cot(a+2x) - 2\cot(a+x) + \cot(a)}{x^2} \right]$$

Paso 1:
Una muchacha advierte, que su número telefónico tiene los primeros tres números en progresión geométrica y los siguientes cuatro en progresión aritmética, ambas con la misma razón. El primer término de la P.A. es mayor en una unidad que el primer término de la P.G. y también el último término de la P.A. es mayor en uno al último término de la P.G. Considerando que se trata de un número fijo de La Paz, encontrar el número telefónico de la muchacha.

Si: $$ \begin{cases} \text{sen } x + \text{sen } y = a \\ \cos x - \cos y = b \end{cases} $$
calcular: $C = \frac{1 + a \text{sen}(x-y) - \cos(x-y)}{a + \text{sen}(x-y) + a \cos(x-y)}$

Calcular el siguiente límite:
$$L = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{\sqrt[3]{x^3+5} + 4x^2 + 6 - 2x}{x - \sqrt[3]{x^3 - 12x^2 + 1}} \right)$$

Sea $f(x) = x \sin \pi x, x > 0$. Entonces para todo número natural $n$, $f'(x)$ se anula en:
$$ \begin{array}{ll} \text{a. } & \text{un punto único en el intervalo } (n, n + \frac{1}{2}) \\ \text{b. } & \text{un punto único en el intervalo } (n + \frac{1}{2}, n + 1) \\ \text{c. } & \text{un punto único en el intervalo } (n, n + 1) \\ \text{d. } & \text{dos puntos en el intervalo } (n, n + 1) \end{array} $$

¿Cuál es el valor de $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{a_0 x^m + a_1 x^{m-1} + \dots + a_m}{b_0 x^n + b_1 x^{n-1} + \dots + b_n}$, donde $a_0, b_0 \neq 0$ y $m, n$ son enteros positivos, cuando:
(a) $m > n$; (b) $m = n$; (c) $m < n$?

Simplificar la expresión:
$$ \left( \frac{(a+b)(a^{2/3}-b^{2/3})^{-1} - (\sqrt[3]{a^2b} - \sqrt[3]{ab^2})(b^{1/3} - a^{1/3})^{-2}}{(\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b})(\sqrt[3]{b} + \sqrt[6]{ab} - 2\sqrt[3]{a})} \right)^{-1} + 2\sqrt[6]{a} $$

Resuelve la ecuación:
$$ | x^2 - 9 | + | x - 2 | = 5 $$

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones para las variables reales $x$ e $y$, expresando el resultado en términos de la constante positiva $k$:

$$ \begin{cases} \sqrt{x^2 + y^2} - \sqrt{x^2 - y^2} = y \\ x^4 - y^4 = 400k^4 \end{cases} $$

Calcular el valor de la incógnita $y$ después de resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
$$ \begin{cases} ax + by + cz = d \\ a^2x + b^2y + c^2z = d^2 \\ a^3x + b^3y + c^3z = d^3 \end{cases} $$

Paso 1:
Si $m = \tan 12^\circ \tan 48^\circ$ y $n = \tan 6^\circ \tan 66^\circ$, entonces encuentre el valor de $\left( \frac{m}{n} + 10 \right)$.