Aprende con Inteligencia

Resolver el sistema:
$$ \begin{cases} 4 \tan 3y = 3 \tan 2x \\ 2 \sin x \cos (x-y) = \sin y \end{cases} $$

Evaluar:
$$ \int \frac{dx}{(1 - 2\sin x)^2} $$

Resolver la ecuación:
$$1 - \frac{2(\text{sen} 2x - \cos 2x \tan x)}{\sqrt{3} \sec^2 x} = \cos^4 x - \text{sen}^4 x$$

Sea el dominio de dos sucesiones $(s_n)$ y $(t_n)$ los enteros positivos y sea $s_n \to 2$, $t_n \to 2 + \delta$, donde $\delta$ es el número $10^{-5820}$. Ahora defina una nueva sucesión:
$$ u_n = \begin{cases} s_n & \text{si } n \text{ no es un múltiplo de 3,} \\ t_n & \text{si } n \text{ es un múltiplo de 3.} \end{cases} $$
Así, los primeros términos de la sucesión $(u_n)$ se ven así: $s_1, s_2, t_3, s_4, s_5, t_6, s_7, \dots$. ¿Es $(u_n)$ una sucesión convergente? Explique.

Paso 1:
El agua entra gradualmente en un foso. Diez bombas de igual capacidad operando juntas pueden bombear el agua fuera del foso lleno en 12 horas, mientras que 15 bombas similares necesitarían seis horas. ¿Cuánto tiempo le tomaría a 25 de estas bombas vaciar el foso?

Resolver la siguiente ecuación trigonométrica:
$$ \sqrt{-3 \sin 5x - \cos^2 x - 3} + \sin x = 1 $$

Calcular el valor de la siguiente integral definida:
$$ \int_{-2024}^{2026} x \left( 1 + \cos \left( \frac{x - 1}{2025} \cdot \pi \right) \right) \, dx $$

Paso 1:
Demuestre que el ángulo de intersección de las curvas $y = \ln(x - 2)$ y $y = x^2 - 4x + 3$ en el punto $(3, 0)$ es $\phi = \arctan \frac{1}{3}$.

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{x + 9}{x^3 + 9x} dx $$

Paso 1:
Demostrar la identidad: $\cos^5 \theta = \frac{1}{16}(10 \cos \theta + 5 \cos 3\theta + \cos 5\theta)$

Calcular:
$$\int_{0}^{1/\sqrt{3}} \sqrt{x + \sqrt{x^2 + 1}} \, dx$$

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{dx}{(x^2 - 4) \sqrt{x + 1}} $$