Aprende con Inteligencia

Dada la ecuación $x^n - 1 = 0$ con raíces $1, a_1, a_2, \dots, a_{n-1}$, determine el valor de:
$$\sum_{r=1}^{n-1} \frac{1}{2 - a_r}$$

$$ \begin{array}{ll} \text{a) } \frac{2^{n-1}(n-2)+1}{2^n-1} & \text{b) } \frac{2^n(n-2)+1}{2^n-1} \\ \text{c) } \frac{2^{n-1}(n-1)-1}{2^n-1} & \text{d) } \text{none of these} \end{array} $$

Evaluar la integral indefinida:
$$ \int \tan^3 x \cdot \sec^5 x \, dx $$

Paso 1:
Hallar: (a) $\tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha$; (b) $\tan^3 \alpha + \cot^3 \alpha$; (c) $\tan \alpha - \cot \alpha$ si se sabe que $\tan \alpha + \cot \alpha = m$.

Si $\frac{\sin A}{\sin B} = p$ y $\frac{\cos A}{\cos B} = q$, demostrar que:
$$ \tan A \cdot \tan B = \frac{p}{q} \left( \frac{q^2 - 1}{1 - p^2} \right) $$

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
$$ \begin{cases} x^2 - yz = 3 \\ y^2 - zx = 5 \\ z^2 - xy = -1 \end{cases} $$

Resuelva la ecuación:
$$\frac{(3 + x)(2 + x)(1 + x)}{(3 - x)(2 - x)(1 - x)} = -35$$

Sea
$$ g(x) = \begin{cases} \frac{x^2 + x \tan x - x \tan 2x}{ax + \tan x - \tan 3x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases} $$
Si $g'(0)$ existe y es igual a un valor no nulo $b$, entonces $52 \frac{b}{a}$ es igual a:

Demostrar la siguiente identidad:
$$ \sqrt{\cos^2 \alpha \cos^2 \beta - \frac{1}{2} \sin 2\alpha \sin 2\beta + \sin^2 \alpha \sin^2 \beta} = |\cos (\alpha + \beta)| $$

Paso 1:
Si $9g^2 \left[ \ln \left( \frac{e^x - 2}{2e^x - 1} \right) \right] \cdot g(x) = (f \circ f^{-1}) \left( \frac{e^x + 1}{e^x - 1} \right)$. Hallar el valor de "m", sabiendo que: $(m+1)g(1) = e-1$.

Evalúe el valor de la expresión $R$ dadas las condiciones para $u$ y $v$:
$$R = \frac{uv - \sqrt{u^2-1}\sqrt{v^2-1}}{uv + \sqrt{u^2-1}\sqrt{v^2-1}}$$
Sabiendo que:
$$u = \frac{1}{2}\left( a + \frac{1}{a} \right), \quad v = \frac{1}{2}\left( b + \frac{1}{b} \right)$$
Donde $a \geq 1$ y $b \geq 1$.

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{dx}{x^3(a + bx)^2} $$

Paso 1:
Evaluar: $\int \frac{\cos 5x + \cos 4x}{1 - 2\cos 3x} dx$