Aprende con Inteligencia

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x - 1}} $$

Una circunferencia de centro en $(4,0)$ y radio 4 intersecta a otra circunferencia de centro en $(0,0)$ de radio "h" con $0 < h < 8$. Sea el punto $A(8,0)$ y $B$ el punto de intersección de ambas circunferencias, sea $L$ la recta que pasa por $A$ y $B$ que intersecta al eje de ordenadas en el punto $E$, si $O$ es el origen.

1. Calcule $\overline{OE}$ en función de "$h$".
2. Calcule $\lim_{h \to 0} \frac{\overline{OE}}{h}$.

Paso 1:
Se tiene una P.A. de 3 términos. Al 3er término se le suma una cantidad desconocida $x$ y se convierte en P.G. Si al 1er y 2do término de la P.G. se le multiplica por esa cantidad desconocida y al 3er término se le adiciona la suma de los términos de la P.A. inicial, vuelve a formarse otra P.A. Sabiendo que la razón de esta última es el triple de la cantidad desconocida, escriba la primera P.A.

Si $\frac{\tan(\alpha + \beta - \gamma)}{\tan(\alpha - \beta + \gamma)} = \frac{\tan \gamma}{\tan \beta}$, demuestre que:
$\sin(\beta - \gamma) = 0$ o $\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma = 0$.

Si $x + y + z = x y z$, demostrar que:
$$ \frac{3x - x^3}{1 - 3x^2} + \frac{3y - y^3}{1 - 3y^2} + \frac{3z - z^3}{1 - 3z^2} = \frac{3x - x^3}{1 - 3x^2} \cdot \frac{3y - y^3}{1 - 3y^2} \cdot \frac{3z - z^3}{1 - 3z^2} $$

Resolver la ecuación trigonométrica:
$$ \sin^4 x + \cos^4 x = \cos 4x $$

Determine para qué valores del parámetro $a$ la siguiente ecuación posee raíces iguales (raíz doble):
$$x^2 + ax\sqrt{a^2 - 8} + 4 = 0$$

Paso 1:
El agua entra gradualmente en un foso. Diez bombas de igual capacidad operando juntas pueden bombear el agua fuera del foso lleno en 12 horas, mientras que 15 bombas similares necesitarían seis horas. ¿Cuánto tiempo le tomaría a 25 de estas bombas vaciar el foso?

Resolver la ecuación trigonométrica:
$$ \sin^6 x + \cos^6 x = \frac{7}{16} $$

Si $y = (x + \sqrt{1 + x^2})^n$, entonces el valor de $(1 + x^2)\frac{d^2y}{dx^2} + x\frac{dy}{dx}$ es igual a:

$$ \begin{array}{llll} \text{(a) } -y & \text{(b) } -n^2 y & \text{(c) } n^2 y & \text{(d) } -ny^2 \end{array} $$

Evaluar la integral impropia:
$$ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-x^2}}{1 + e^{2x}} \, dx $$

Evaluar la siguiente integral indefinida:
$$ \int \frac{dx}{(x - 2)^2 \sqrt{x^2 - 4x + 7}} $$