Aprende con Inteligencia

Calcular el siguiente límite:
$$L = \lim_{x \to 0} \left[ \frac{1 - \cos x \cdot \cos 3x \cdot \cos 5x}{\text{sen}^2 x} \right]$$

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{dx}{x^{2/3} (2 + 3x)^{4/3}} $$

Si $f$, $g$, y $h$ son funciones derivables de $x$ y se define:
$$\Delta(x) = \begin{vmatrix} f & g & h \\ (xf)' & (xg)' & (xh)' \\ (x^2 f)' & (x^2 g)' & (x^2 h)' \end{vmatrix}$$
entonces demuestre que:
$$\Delta'(x) = \begin{vmatrix} f & g & h \\ f' & g' & h' \\ (x^3 f'')' & (x^3 g'')' & (x^3 h'')' \end{vmatrix}$$

Calcule el valor de:
$$\int_{0}^{100} \lfloor x \rfloor x \lceil x \rceil dx$$

Paso 1:
Hallar dos números enteros cuya suma es igual a 1244. Si el dígito 3 se anexa a la derecha del primer número, y el último dígito 2 se elimina del segundo número, entonces los nuevos números obtenidos serán iguales entre sí.

Probar la identidad si $a \ge 2$:
$$ \sqrt{\sqrt{a} + \sqrt{\frac{a^2-4}{a}}} + \sqrt{\sqrt{a} - \sqrt{\frac{a^2-4}{a}}} = \frac{\sqrt{2a+4}}{\sqrt[4]{a}} $$

Si $A + B + C = \pi$, demostrar que:
$$ \frac{\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C}{\cos A + \cos B + \cos C - 1} = 8 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2} $$

Paso 1:
Se vertieron seis litros de alcohol al 64\% en un recipiente que contenía agua. Después de mezclarlo minuciosamente, se extrajeron 6 litros de la solución resultante. Esta operación se repitió tres veces. ¿Cuánta agua contenía el recipiente originalmente si la concentración final de alcohol en él fue del 37\%?

Si $\int f(x) \sin x \cdot \cos x \, dx = \frac{1}{(b^{2} - a^{2})} \log(f(x)) + k$, entonces $f(x)$ es:

(a) $\frac{1}{a^{2} \sin^{2} x + b^{2} \cos^{2} x} + c$
(b) $\frac{1}{a^{2} \sin^{2} x - b^{2} \cos^{2} x} + c$
(c) $\frac{1}{a^{2} \cos^{2} x + b^{2} \sin^{2} x} + c$
(d) $\frac{1}{a^{2} \cos^{2} x - b^{2} \sin^{2} x} + c$

Calcular la integral indefinida:
$$ \int \left[ 2020 \sin^{2019}(x) \cos^{2019}(x) - 8084 \sin^{2021}(x) \cos^{2021}(x) \right] \, dx $$

Calcular la integral:
$\int e^{x} \cos^{2} x dx$

(a) $e^{x} + \frac{1}{10} e^{x} (\cos 2x + 2\sin 2x) + c$
(b) $\frac{1}{2} e^{x} + e^{x} (\cos 2x + 2\sin 2x) + c$
(c) $\frac{1}{2} e^{x} + (\cos 2x + 2\sin 2x) + c$
(d) $\frac{1}{2} e^{x} + \frac{1}{10} e^{x} (\cos 2x + 2\sin 2x) + c$

Resolver la siguiente ecuación radical:
$$ \sqrt[4]{97-x} + \sqrt[4]{x} = 5 $$