Aprende con Inteligencia

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = z^2 & (1) \\ xy + yz + zx = 47 & (2) \\ (z - x) (z - y) = 2 & (3) \end{cases} $$

Paso 1:
Tres números están en progresión geométrica. Si se resta $16$ al tercer término, los nuevos números forman una progresión aritmética. Si posteriormente se resta $2$ al segundo término de esta nueva progresión aritmética, se obtiene nuevamente una progresión geométrica. Determine el valor de los tres números iniciales.

Evaluar la integral:
$$ \int \sqrt{\frac{\sin(x - \alpha)}{\sin(x + \alpha)}} \, dx $$

Evalúe la siguiente integral impropia:
$$ \int_{-\infty}^{\infty} \left( \left( \frac{1}{x-2} + \frac{3}{x-4} + \frac{5}{x-6} \right)^{-2} + 1 \right)^{-1} dx $$

Calcular el valor de la siguiente integral definida:
$$ \int_{1/2}^{2} \log \left( \frac{\log(x + \frac{1}{x})}{\log(x^2 - x + \frac{17}{4})} \right) dx = -\frac{3}{2} \log 2 $$

Paso 1:
Muestre que $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ no tiene ni un máximo relativo ni un mínimo relativo, si $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} \neq 0$.

Evaluar la siguiente integral indefinida:
$$ \int \left( \frac{4\cos x + 3}{(3\cos x + 4)^2} \right) dx $$

Resolver la ecuación:
$$ \sin (x - a) = \sin x + \sin a $$

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{x^2 + 4x + 2}{(x + 1)\sqrt{x^2 + 2x + 3}} \, dx $$

Paso 1:
Sea $z = (\cos x)^5$ y $y = \sin x$. Entonces el valor de $2 \frac{d^2z}{dy^2}$ en $x = \frac{2\pi}{9}$ es:

Simplificar la siguiente expresión:
$$ \frac{\sin \left( \frac{3\pi}{2}+\alpha \right) \tan \left( \frac{\pi}{2}+\beta \right)}{\cos (\pi-\alpha) \cot \left( \frac{3\pi}{2}-\beta \right)} - \frac{\sin \left( \frac{3\pi}{2}-\beta \right) \cot \left( \frac{\pi}{2}+\alpha \right)}{\cos (2\pi-\beta) \tan (\pi-\alpha)} $$

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{dx}{x^3(a + bx)^2} $$