Aprende con Inteligencia

Paso 1:
Una pared de $8 \text{ ft}$ de altura está a $3\frac{3}{8} \text{ ft}$ de una casa. Hallar la longitud de la escalera más corta que llegue desde el suelo hasta la casa apoyándose en la pared.

Evalúe la integral:
$$\int_0^1 \sqrt{\frac{1}{x} \ln \frac{1}{x}} dx$$

Sabiendo que $x, y, z$ son los ángulos interiores de un triángulo. Demuestre que:
$$\sin^2 x + \sin^2 y + \sin^2 z - 2 \cos x \cos y \cos z = 2$$

Paso 1:
Si $\frac{\tan 3A}{\tan A} = k$, demostrar que $\frac{\sin 3A}{\sin A} = \frac{2k}{k-1}$ y que $k$ no puede estar entre $1/3$ y $3$.

Demostrar o calcular el valor de la integral:
$$ \int_{0}^{1} \left( \sqrt{\frac{1}{4x^2} + \frac{1}{x} - x} - \sqrt{\frac{x^4}{4} - x + 1} - \frac{1}{2x} \right) \, dx $$

Resolver la siguiente ecuación trigonométrica:
$$ \sin^8 2x + \cos^8 2x = \frac{41}{128} $$

Demuestre la siguiente igualdad mediante el cálculo de la integral impropia:
$$ \int_{0}^{\infty} \frac{\log(2e^x - 1)}{e^x - 1} dx = \frac{\pi^2}{4} $$

Paso 1:
Para hornear pan de trigo, un panadero tomó una cierta cantidad de harina igual (en kg) al porcentaje de ganancia en peso del pan para esta cantidad de harina. Para hornear pan de centeno, tomó 10 kg más de harina que para el de trigo, de modo que la masa de la harina (en kg) era igual a la ganancia para la harina de centeno. ¿Cuánta harina de trigo y de centeno se tomó si la cantidad total de pan horneado fue de 112.5 kg?

Paso 1:
Si $\cos 6\theta = A \cos^6 \theta + B \cos^4 \theta + C \cos^2 \theta + D$, hallar el valor de $A + B + C + D + 2$.

Sean $A_1, A_2, \dots, A_n$ ($n > 2$) los vértices de un polígono regular de $n$ lados con su centro en el origen. Sea $\vec{a}_k$ el vector de posición del punto $A_k$ para $k = 1, 2, \dots, n$. Si se cumple que:
$$ \left| \sum_{k=1}^{n-1} (\vec{a}_k \times \vec{a}_{k+1}) \right| = \left| \sum_{k=1}^{n-1} (\vec{a}_k \cdot \vec{a}_{k+1}) \right| $$
entonces el valor mínimo de $n$ es:

Paso 1:
Si $f(x) = \cos(x) \sin(x)$, evalúe la derivada de orden 2023 en el punto $x = 0$, es decir, $f^{(2023)}(0)$.

Si $\alpha$ y $\beta$ son las raíces de $a \sec \theta + b \tan \theta = c$, demuestre que $\tan(\alpha + \beta) = \dfrac{2ac}{a^2 - c^2}$.

Nota: El enunciado original presentaba una errata en "$a \tan \theta + b \tan \theta = c$", se corrige a la forma estándar $a \sec \theta + b \tan \theta = c$ para que la demostración sea consistente.