Aprende con Inteligencia

Demuestre que:
$$ \arctan\left(\frac{1}{3}\right) + \arctan\left(\frac{2}{9}\right) + \arctan\left(\frac{4}{33}\right) + \dots \text{ al } \infty = \frac{\pi}{4} $$

Un mago tiene una cierta cantidad de cartas y las reparte a tres personas de la siguiente manera:
Saca la mitad de las cartas y una más para la primera persona; para la segunda, la mitad de lo que quedó y una carta más; y para la tercera persona, la mitad de lo que entonces quedaba y tres cartas más.
Si con esto reparte todas las cartas, ¿cuántas cartas tenía inicialmente?

Si $a + b \geq 0$, demostrar que:
$$ab(a + b) \leq a^3 + b^3$$

Paso 1:
Demostrar la identidad: $\frac{\operatorname{sen} 3x + \operatorname{sen} 5x + \operatorname{sen} 7x + \operatorname{sen} 9x}{\cos 3x + \cos 5x + \cos 7x + \cos 9x} = \tan 6x$

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{x e^x + e^x}{\cos^2(x e^x)} \, dx $$

Demostrar la identidad:
$$ \tan^2\alpha-\tan^2\beta=\sin(\alpha+\beta)\,\sin(\alpha-\beta)\,\sec^2\alpha\,\sec^2\beta $$

Paso 1:
Demostrar que para todo $n \in \mathbb{N}$, la expresión $3^{2n+2} - 8n - 9$ es divisible por $64$.

Si $y = (\sin x)^{\tan x}$, entonces $\frac{dy}{dx} =$

$$ \begin{array}{ll} \text{a. } (\sin x)^{\tan x} (1 + \sec^2 x \log \sin x) & \text{b. } \tan x (\sin x)^{\tan x - 1} \cos x \\ \text{c. } (\sin x)^{\tan x} \sec^2 x \log \sin x & \text{d. } \tan x (\sin x)^{\tan x - 1} \end{array} $$

Respecto al polinomio sobre $\mathbb{Q}$: $P_{(x)} = x^5 + x^4 + 1$, indique lo correcto.

A) Tiene 3 factores primos.
B) Un factor primo es $(x^2 - x + 1)$.
C) Tiene dos factores primos cuadráticos.
D) Un factor primo es $(x^3 - x + 1)$.
E) La suma de coeficientes de un factor primo es 2.

Determinar la integral:
$$ \int \frac{x^3 - x}{x^6 - 1} \, dx $$

Simplificar la siguiente expresión:
$$ \frac{2}{\sin 4\alpha} - \cot 2\alpha $$

Determine la integral indefinida de la función:
$$ \int x^2 \cos(\operatorname{arccsc}(x)) \, dx $$